什么是动态规划?

动态规划 $(\mathbb{D}ynamic~\mathbb{P}rograming)$算法是解决多阶段决策过程最优的通用方法。在这类问题中，可能有多个可行解。每一个解都对应着一个值，而我们希望找到的是最优值的解。

要了解动态规划的概念，首先要知道什么是多阶段决策问题。

1.多阶段决策问题

如果一类活动过程可以分为若干个相互联系的阶段，在每一个阶段都需做出决策(采取措施),一个阶段的决策确定以后，常常影响到下一个阶段的决策，从而就完全地确定了一个过程的活动路线，则称它为多阶段决策问题。

2.策略

各个阶段的决策构成一个决策序列，称为一个策略。每一个阶段都有若干个决策可供选择，因而就有许多策略供我们选取，对应于一个策略可以确定活动的效果，这个效果可以用数量来确定。策略不同，效果也会有所不同。多阶段决策问题，就是要在可以选择的策略之间，选取一个最优策略，使在预定的标准下达到最好的效果。

举个例子：最短路径问题求解

求 $A$ 到达 $E$ 的最短距离。
思考：仔细观察本图路径的特殊性，可以分成四个阶段。

第一阶段$(Stage~1)$ :
$A$ 有两条通路：$A \to B_1$ 和 $A \to B_2$;

第二阶段$(Stage~2)$ :
$B_1$ 有三条通路：$B_1 \to C_1$ , $B_1 \to C_2$ , $B_1 \to C_3$;
$B_2$ 有两条通路：$B_2 \to C_2$ , $B_2 \to C_4$;

第三阶段$(Stage~1)$ :
$C_1$ 有两条通路：$C_1 \to D_1$ 和 $C_1 \to D_2$;
$C_2$ 有一条通路：$C_2 \to D_1$;
$C_3$ 有一条通路：$C_3 \to D_3$;
$C_4$ 有一条通路：$C_4 \to D_3$;

第四阶段$(Stage~1)$ : $D_1$ 有一条通路：$D_1 \to E$;
$D_2$ 有一条通路：$D_1 \to E$;
$D_3$ 有一条通路：$D_1 \to E$.

解决方法：倒着推 (设 $F(x)$ 表示 $x$ 点到 $E$ 点的最短路径的长度)

不难想到：$F(x) = \min{$ 所有 $x$ 点指向的点 $y$ 之间的路径长度 $+ F(y)}$

名词解释: 我们把 $F(x)$ 称为当前 x 的状态；每一的阶段的选择依赖于当前的状态，又随即引起状态的转移；一个决策序列$\color{blue}{E\to D_3\to C_4\to B_2\to A}$就是在变化的状态中产生的，故有“动态”的含义。

3.小结

三个基本的概念
1.阶段: 问题的过程被分成若干个相互联系的部分，我们称之为阶段，以便按一定的次序求解。
2.状态: 某一阶段的出发位置称为状态，通常一个阶段包含着若干个状态。
3.决策: 对问题的处理中做出的每种选择的行动就是决策。即从该阶段的每个状态出发，通过一次选择性的行动移至下一个阶段的相应状态。